Cho $a;\,\,b \ne 1;\,\,c \ne 1;\,\,d$ thỏa mãn \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận xét và đánh giá giả thiết đề bài.

Giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,ac - a - c = {b^2} - 2b\\ \Leftrightarrow ac - a - c + 1 = {b^2} - 2b + 1\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {c - 1} \right) = {\left( {b - 1} \right)^2}\end{array}$

Tương tự:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {b - 1} \right)\left( {d - 1} \right) = {\left( {c - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)\left( {d - 1} \right) = {\left( {b - 1} \right)^2}{\left( {c - 1} \right)^2}\end{array}$

Do $b \ne 1;\,\,c \ne 1$ nên

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {a - 1} \right)\left( {d - 1} \right) = \left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)\\ \Leftrightarrow ad - a - d + 1 = bc - b - c + 1\\ \Leftrightarrow ad + b + c = bc + a + d\end{array}$

Vậy $\forall a;\,\,b \ne 1;\,\,c \ne 1;\,\,d;\,\,ac - a - c = {b^2} - 2b;\,\,bd - b - d = {c^2} - 2c$ thì $ad + b + c = bc + a + d$.