Cho hình lăng trụ đứng$ABC.A'B'C'$, các mặt bên...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi I và I’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ ta có:

Tam giác ABC và A’B’C’ đều nên $AI \bot BC;A'I' \bot B'C'$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot AA'\,\,\left( {AA' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {AII'A'} \right)$

Trong $\left( {AII'A'} \right)$ kẻ $I'H \bot A'I\,\,\left( {H \in A'I} \right)$ ta có:

$\left. \begin{array}{l}I'H \bot A'I\\I'H \bot BI\,\,\left( {BC \bot \left( {AII'A'} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I'H \bot \left( {A'BI} \right)$

Dựng hình bình hành I’HDE $\left( {D \in A'B;E \in B'C'} \right)$

Ta có:  $DE//I'H \Rightarrow DE \bot \left( {A'BI} \right) \Rightarrow DE \bot A'B$

$DE//I'H \Rightarrow DE \bot B'C'$

Suy ra DE là đoạn vuông góc chung của A’B và B’C’$\Rightarrow d\left( {A'B;B'C'} \right) = DE = I'H$

Vì tam giác ABC đều nên $A'I' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Ta có: $I'I \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow I'I \bot A'I' \Rightarrow \Delta A'I'I$ vuông tại I’

$\Rightarrow \frac{1}{{I'{H^2}}} = \frac{1}{{A'I{'^2}}} + \frac{1}{{I'{I^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow I'H = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$

Vậy $d\left( {A'B;B'C'} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$

Chọn D.