Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ và đườn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay $m =  - 1$ vào phươn trình hoành độ giao điểm, giải phương trình đó để tìm hoành độ 2 giao điểm, từ đó suy ra tọa độ của chúng.

b) $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ $\Leftrightarrow$ phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta  > 0$

Biến đổi biểu thức đề bài sao cho chỉ còn ${x_1} + {x_2}$ và ${x_1}.{x_2}$, sử dụng hệ thức Vi-ét thế vào để biến $T$ theo $m,$ từ đó tìm $m$ để $T$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết:

a) Khi $m = 1$, xác định tọa độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là :

$\left( {2m + 1} \right)x - 2m = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m = 0\;\;\;\left( 1 \right)$   

Với $m = 1$, (1) trở thành ${x^2} - 3x + 2 = 0$

$\Delta  = {3^2} - 4.2 = 1 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 1$

Với $m = 1$ phương trình có hai nghiệm phân biệt : $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2 \Rightarrow y = 4\\{x_2} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1 \Rightarrow y = 1\end{array} \right..$ 

Vậy với$m =  - 1$ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là hai điểm có tọa độ $\left( {2;4} \right)$ và $\left( {1;1} \right).$

b) Tìm m để $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ sao cho biểu thức $T = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( P \right)$ là :

$\left( {2m + 1} \right)x - 2m = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m = 0\;\;\;\left( 1 \right)$

Để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt A và B $\Leftrightarrow$ (1) có hai nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4.2m > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow 2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}.\end{array}$

Gọi ${x_1},{x_2}$ lần lượt là hoành độ của hai điểm $A$ và $B$

$\Rightarrow {x_1},{x_2}$ là 2 nghiệm của  (1)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}.{x_2} = 2m\end{array} \right.$

Khi đó  $T = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} - {x_1}.{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}.{x_2}$

               $\begin{array}{l} = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 3.2m = 4{m^2} + 4m + 1 - 6m = 4{m^2} - 2m + 1\\ = \left( {4{m^2} - 2m + \frac{1}{4}} \right) + \frac{3}{4} = {\left( {2m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}.\end{array}$

Ta có  ${\left( {2m - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0$ với mọi m $\Rightarrow T = {\left( {2m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}$ với mọi $m$

Dấu ‘‘=’’ xảy ra $\Leftrightarrow 2m - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2m = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}\;\;\left( {tm} \right)$

 Vậy với $m = \frac{1}{4}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn D.