Cho biết $a,b>0$ thỏa mãn $11x+10y=2017.$ G...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta viết lại $M=\frac{1}{\frac{x}{10}}+\frac{1}{\frac{y}{11}}.$

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ với $a=\frac{x}{10};b=\frac{y}{11}$ ta nhận được

$M = \frac{1}{{\frac{x}{{10}}}} + \frac{1}{{\frac{y}{{11}}}} \ge \frac{4}{{\frac{x}{{10}} + \frac{y}{{11}}}} = \frac{4}{{\frac{{11x + 10y}}{{10.11}}}} = \frac{{440}}{{11x + 10y}} = \frac{{440}}{{2017}}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{10}} = \frac{y}{{11}}\\11x + 10y = 2017\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 10y\\11x + 10y = 2017\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 10y\\20y = 2017\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2017}}{{22}}\\y = \frac{{2017}}{{20}}\end{array} \right..$

Giá trị nhỏ nhất của $M$ là $\frac{440}{2017}$ đạt được tại $\left( x;y \right)=\left( \frac{2017}{20};\frac{2017}{22} \right).$

Chọn đáp án D.