Cho hình nón đỉnh S có chiều cao \(h = a\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) với a là cạnh huyền; b và c là 2 cạnh góc vuông.

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao

OH là: \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)

Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm AB thì OI ⊥ AB

Vẽ OH ⊥ SI tại H. Ta có SO ⊥ AB, OI ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOI)

⇒ AB ⊥ OH ⇒ OH ⊥ (SAB)

⇒ d(O;(P)) = OH

Xét ∆ OAI vuông tại I ta có:

 \(OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}}  = \sqrt {{r^2} - {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 a}}{2}} \right)}^2}}  = a\)

∆ SOI vuông tại O có OH ⊥ SI nên \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{I^2}}} = \dfrac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Chọn D.