Cho $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, liên tục...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt $t =  - x$.

Giải chi tiết:

Đặt $t =  - x \Rightarrow dt =  - dx$.

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t =  - 1\\x =  - 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.$ , khi đó:

$I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx}  =  - \int\limits_1^{ - 1} {\dfrac{{f\left( { - t} \right)dt}}{{1 + {e^{ - t}}}}}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( { - x} \right)dx}}{{1 + \dfrac{1}{{{e^x}}}}}}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{{e^x}f\left( { - x} \right)dx}}{{1 + {e^x}}}}$

Do $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn nên $f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{{e^x}f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx}$

$\Rightarrow I + I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx}  + \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{{e^x}f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{\left( {{e^x} + 1} \right)f\left( x \right)dx}}{{1 + {e^x}}}}  = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = 4 \Rightarrow I = 2$.

Chọn C.