Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trò...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Chứng minh $\angle AMH + \angle ANH = {180^0}$ suy ra tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

2) Ta chứng minh hai góc tương ứng phụ  với hai góc bằng nhau thì bằng nhau.

3) Chứng minh $\angle OAC + \angle ANM = {90^0} \Rightarrow OA \bot MN.$

Giải chi tiết:

1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

Ta có M, N là hình chiếu của H trên AB, AC $\Rightarrow \angle AMH = \angle ANH = {90^0}$

Xét tứ giác AMHN ta có: $\angle AMH + \angle ANH = {180^0}.$

Suy ra tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp (dhnb).

2) Chứng minh $\angle ABC = \angle ANM.$

Ta có tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp suy ra $\angle MAH = \angle MNH$

(hai góc nội tiếp tiếp cùng chắn cung MH).

Mặt khác: $\angle BAH + \angle ABH = {90^0}\;\;(\Delta ABH$ vuông tại H).

                   $\angle ANM + \angle MNH = {90^0}\;\;\left( {\angle ANH = {{90}^0}} \right)$

Suy ra: $\angle ABH = \angle ANM\;\;\left( { = {{90}^0} - \angle MNH} \right)\;\;\;(dpcm).$

3) Chứng minh OA vuông góc với MN.

Kéo dài OA cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A’.

Ta có: $\angle CA'A = \angle ABC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Góc $\angle A'CA$ chắn nửa đường tròn nên $\angle A'CA = {90^0}.$

$\Rightarrow \angle CA'A + \angle A'AC = {90^0}.$ (Tổng hai góc trong tam giác vuông)

Mà $\angle ABC + \angle BAH = {90^0}\;\;(\Delta ABH$ vuông tại H).

$\Rightarrow \angle BAH = \angle A'AC.$

Lại có: $\angle ABC = \angle ANM\;\;\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \angle A'AC + \angle ANM = {90^0} \Rightarrow OA \bot MN\;\;(dpcm).$

4) Cho biết $AH = R\sqrt 2$. Chứng minh M, O, N thẳng hàng.

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta AHC$ vuông tại H và có đường cao HN ta có:

$\begin{array}{l}A{H^2} = AN.AC = {\left( {R\sqrt 2 } \right)^2} = 2{R^2} = AO.AA'\\ \Rightarrow AN.AC = AO.AA'\\ \Rightarrow \frac{{AN}}{{AA'}} = \frac{{AO}}{{AC}}.\end{array}$

Xét $\Delta AON$ và $\Delta AA'C$ ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{AN}}{{AA'}} = \frac{{AO}}{{AC}}\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle A\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta AON \sim \Delta ACA'\;\;\left( {c - g - c} \right).\\ \Rightarrow \angle AON = \angle ACA' = {90^0}\end{array}$

Chứng minh tương tự ta có: $\angle AOM = \angle A'BA = {90^0}$

$\Rightarrow \angle AOM + \angle AON = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow O,\;M,\;N$ thẳng hàng (đpcm).