Cho các số nguyên dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích, lập luận và đánh giá theo \(x,\,\,y,\,\,z\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(60=3.4.5\)

+) Giả sử: cả \(x,\,\,y,\,\,z\) đều không chia hết cho 3.

    Khi đó \(x,\,\,y,\,\,z\) chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 nên \({x^2};{y^2};{z^2}\) chia cho 3 dư 1.

    Suy ra chia cho 3 dư 2 mà \({z^2}\) chia cho 3 dư 1           (vô lí)

    Nên tồn tại ít nhất 1 trong 3 số chia hết cho 3.

    Vậy \(xyz \vdots 3\)            (1).

+)  Giả sử cả \(x,\,\,y,\,\,z\) không chia hết cho 4.
     Khi đó \(x,\,\,y,\,\,z\) chia cho 4 dư 1; 2 hoặc 3.
    -) Xét TH1: Cả \(x,\,\,y,\,\,z\) lẻ suy ra \({{x}^{2}};{{y}^{2}};{{z}^{2}}\) chia 4 dư 1.
        \(\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( \bmod 4 \right)\) ( loại )
    -) Xét TH2 : Có ít nhất 2 số chẵn \( \Rightarrow xyz \vdots 4\)
    -) Xét TH3: Có 1 số chẵn và 2 số lẻ.
                        Với \(x,\,\,y\)  lẻ thì \({{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( mod4 \right)\) ( loại do z chẵn nên \({{z}^{2}}\equiv 0\,\,\left( \bmod 4 \right)\))
                        Với \(x,\,\,\,z\)  lẻ thì \({{y}^{2}}={{z}^{2}}-{{x}^{2}}=\left( z-x \right)\left( z+x \right)\).
       Ta luôn có \({y^2} = \left( {z - x} \right)\left( {z + x} \right)\,\, \vdots \,\,8\)  mà \({y^2}\not  \vdots 4\)           (vô lí)

      Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4.

Vậy \(xyz\vdots 4\)     (2).
+) Giả sử cả \(x,\,\,y,\,\,z\) không chia hết cho 5.
    Khi đó \(x,\,\,y,\,\,z\) chia cho 5 dư 1; 2; 3; 4 suy ra \({x^2};{y^2};{z^2}\) chia cho 5 dư 1 hoặc -1.
    -) Xét TH1: \({{x}^{2}}\) chia cho 5 dư 1; \({{y}^{2}}\) chia cho 5 dư 1 \(\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( mod5 \right)\)   (loại)
    -) Xét TH2:  chia cho 5 dư -1; \({y^2}\) chia cho 5 dư 1\) \Rightarrow {z^2} = {x^2} + {y^2} \equiv  - 1\,\,\left( {\bmod 5} \right)\)  (loại)
    -) Xét TH3: \({{x}^{2}}\) chia cho 5 dư 1; \({{y}^{2}}\) chia cho 5 dư -1\(\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 0\,\,\,\left( \bmod 5 \right)\)   (loại)
Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 5.

Vậy \(xyz \vdots 5\)    (3).
Từ (1); (2) và (3) \( \Rightarrow xyz\,\, \vdots \,\,3.4.5 = 60\,\,\left( {dpcm} \right)\).