Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC...

- Hướng dẫn giải

Cách 1:

Gọi I là trung điểm của cạnh AD.

$∆ABC$ vuông cân tại B, $∆ICD$ vuông cân tại I và có AB=IC=a nên $AC=CD=a\sqrt{2}$ 

Khi đó $A{C}^2+C{D}^2=A{D}^2$ nên $∆ACD$ vuông cân tại C.

Trong (ABCD), dựng hình vuông ACDE. Trong $∆SAE$, kẻ $AH\perp SE\left(1\right)$ 

Ta có

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{r}ED\perp SA\\ ED\perp AE\end{array}\right\}\Rightarrow ED\perp \left(SAE\right) \\ \Rightarrow ED\perp AH\left(2\right) \end{gathered}$$ 

Từ (1) và (2) suy ra $AH\perp \left(SDE\right)$ 

Vì $AC//ED$ nên

$$\begin{gathered} d\left(AC,SD\right)=d\left(AC,\left(SDE\right)\right) \\ =d\left(A;\left(SDE\right)\right)=AH \end{gathered}$$

Trong $∆SAE, \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{E}^2}$

$$\begin{gathered} \iff AH=\frac{SA.AE}{\sqrt{S{A}^2=A{E}^2}} \\ \iff AH=\frac{a.a.\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+\left(a\sqrt{2}{)}^2\right)}}=\frac{\sqrt{6}a}{3} \end{gathered}$$

Vậy $d\left(AC,SD\right)=\frac{\sqrt{6}a}{3}$

Cách 2:

Dễ thấy $DC\perp \left(SAC\right)$. Trên mặt phẳng (ABCD)

dựng:$AG//CD,DG//AC,DG\cap AB=\left\{E\right\}$

Dễ dàng chứng minh được: S.AED là tam diện vuông (1) 

Tính được: AE=AD=2a.

Mà $AC//\left(SDE\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow d_{\left(AC,SD\right)}=d_{\left(AC,\left(SDE\right)\right)} \\ =d_{\left(A,\left(SDE\right)\right)}=AH \end{gathered}$$

Với AH là đoạn thẳng dựng từ A vuông góc với mặt phẳng (ADE)

Ta có: $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{E}^2}+\frac{1}{A{D}^2}$

$\Rightarrow AH=\frac{\sqrt{6}a}{3}$

Cách 3:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz

Khi đó $A(0;0;0);C(a;a;0);$

$D(0;2a;0);S(0;0;a)$ 

Do đó $\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=(a;a;0);\stackrel{\rightharpoonup }{SD}=(0;2a;-a)$;$\stackrel{\rightharpoonup }{SA}=(0;0;-a);$

và $\left[\stackrel{\rightharpoonup }{AC};\stackrel{\rightharpoonup }{SD}\right]=(-a;a;2a)$

Ta có $d\left(AC,SD\right)=\frac{\left|\left[\stackrel{\rightharpoonup }{AC};\stackrel{\rightharpoonup }{SD}\right].\stackrel{\rightharpoonup }{SA}\right|}{\left[\stackrel{\rightharpoonup }{AC;}\stackrel{\rightharpoonup }{SD}\right]}$

$=\frac{\left|-a.0+a.0+2a.(-a)\right|}{\sqrt{{\left(-a\right)}^2+a^2+{\left(2a\right)}^2}}=\frac{\sqrt{6}a}{3}$ 

Chọn đáp án C.