Cho dãy số (un) xác định bởi: \({u_1} = \frac{1}{3...

C

- Hướng dẫn giải

Theo đề ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}.{u_n} \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{1}{3}\frac{{{u_n}}}{n}$ mà ${u_1} = \frac{1}{3}$ hay $\frac{{{u_1}}}{1} = \frac{1}{3}$

Nên ta có $\frac{{{u_2}}}{2} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}$; $\frac{{{u_3}}}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}$; … ; $\frac{{{u_{10}}}}{{10}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{10}}$.

Hay dãy $\left( {\frac{{{u_n}}}{n}} \right)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = \frac{1}{3}$, công bội $q = \frac{1}{3}$.

Khi đó 

$S = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} + ... + \frac{{{u_{10}}}}{{10}} = \frac{{{3^{10}} - 1}}{{{{2.3}^{10}}}} = \frac{{59048}}{{{{2.3}^{10}}}} = \frac{{29524}}{{59049}}$