Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AD=x 

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi H là trung điểm BC khi đó $\left\{\begin{array}{l}AH\perp BC\\ DH\perp BC\end{array}\right.$ 

SUY RA $BC\perp \left(AHD\right)$ và ta có $AH=DH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

Gọi E là trung điểm của AD do tam giác AHD cân nên

$HE\perp AD\Rightarrow HE=\sqrt{A{H}^2-A{E}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{x^2}{4}}$ 

Ta có $V_{ABCD}=V_{BAHD}+V_{CAHD}=\frac{1}{3}BC.S_{AHD}=\frac{1}{3}a\frac{1}{2}HE.AD$ 

Lại có

$\begin{array}{l}\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{x^2}{4}}.x=2.\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{x^2}{4}}.\frac{x}{2}\le \frac{3a^2}{4}-\frac{x^2}{4}+\frac{x^2}{4}\\ =\frac{3a^2}{4}\Rightarrow V_{ABCD}\le \frac{a^3}{8}\Rightarrow V_{max}=\frac{a^3}{8}\end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $3a^2=2x^2\iff x=\frac{a\sqrt{6}}{2}=3\sqrt{2}$