Tìm hệ số ${x^6}$ trong khai triển \({\left( {\d...

Tìm hệ số ${x^6}$ trong khai triển ${\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{3n + 1}}$ với $x \ne 0$ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn $3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4{\rm{A}}_n^2$

$210{{\rm{x}}^6}$

$120{{\rm{x}}^6}$

$120$

$210$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}3C_{n + 1}^2 + nP_2^{} = 4A_n^2\\ \Leftrightarrow 3\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n + 1 - 2} \right)!}} + n.2! = 4\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2!} \right)}}\\ \Leftrightarrow 3.\dfrac{1}{2}\left( {n + 1} \right)n + 2n = 4n\left( {n - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 5}}{2}{n^2} + \dfrac{{15}}{2}n = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\left( L \right)\\n = 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

+ Khi đó khai triển là ${\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{3.3 + 1}} = {\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{10}}$

+ Số hạng tổng quát trong khai triển của ${\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{10}}$ là: $T_{k + 1}^{} = C_{10}^k.{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^{10 - k}}.{\left( {{x^3}} \right)^k} = C_{10}^k.{x^{4k - 10}}$