Cho $\Delta ABC$, qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đư...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song, dấu hiệu nhận biết đường trung trực.

Giải chi tiết:

Ta có: 

$\left\{ \begin{array}{l} DE//BC\\ DF//AC \end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat {{A_1}} = \widehat {ABC}\\ \widehat {{B_1}} = \widehat {BAC} \end{array} \right.\left( {SLT} \right)$

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta BCA$ có:

$\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{ABC}\left( cmt \right)$

AB chung

$\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{BAC}\left( cmt \right)$

$\Rightarrow \Delta ADB=\Delta BCA\left( c-g-c \right)\Rightarrow AD=BC\left( 1 \right)$ (2 cạnh tương ứng)

Ta có: 

$\left\{ \begin{array}{l} DE//BC\\ EF//AC \end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat {{A_2}} = \widehat {ACB}\\ \widehat {ACB} = \widehat {BAC} \end{array} \right.\left( {SLT} \right)$

Xét $\Delta AEC$ và $\Delta CBA$ có:

$\widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{ACB}\left( cmt \right)$

AC chung

$\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{BAC}\left( cmt \right)$

$\Rightarrow \Delta AEC=\Delta CBA\left( c-g-c \right)\Rightarrow AE=BC\left( 2 \right)$ (2 cạnh tương ứng)

 Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right)\Rightarrow AD=AE\Rightarrow$ A là trung điểm của DE.

Gọi AH là đường cao của $\Delta ABC\Rightarrow AH\bot BC$ mà $BC//DE\Rightarrow AH\bot DE$.

Mặt khác, A là trung điểm của DE nên AH là đường trung trực của DE. (*)

Ta có: 

$\left\{ \begin{array}{l} AB//FE\\ DF//AC \end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat {ABC} = \widehat {BCF}\\ \widehat {ACB} = \widehat {FBC} \end{array} \right.\left( {SLT} \right)$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta FCB$ có:

$\widehat{ABC}=\widehat{BCF}\left( cmt \right)$

BC chung

$\widehat{CBF}=\widehat{ACB}\left( cmt \right)$

$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta FCB\left( c-g-c \right)\Rightarrow AB=FC\left( 3 \right)$ (2 cạnh tương ứng)

Lại có $\Delta AEC = \Delta CBA\left( {cmt} \right) \Rightarrow AB = EC\left( 4 \right)$(2 cạnh tương ứng)

Từ $\left( 3 \right)\left( 4 \right)\Rightarrow EC=FC\Rightarrow$ C là trung điểm của EF.

Gọi CK là đường cao của $\Delta ABC\Rightarrow CK\bot BA$ mà $AB//FE\Rightarrow CK\bot FE$

Mặt khác, C là trung điểm của FE nên CK là đường trung trực của FE. (**)

Vì $\Delta ADB=\Delta BCA\left( cmt \right)\Rightarrow AC=BD$ (2 cạnh tương ứng)

Lại có: $\Delta ABC=\Delta FCB\left( cmt \right)\Rightarrow AC=BF$ (2 cạnh tương ứng)

Suy ra $BD=BF\Rightarrow$ B là trung điểm của DF.

Gọi BI là đường cao của $\Delta ABC\Rightarrow BI\bot AC$ mà $AC//DF\Rightarrow BI\bot DF$.

Mặt khác, B là trung điểm của DF nên BI là đường trung trực của DF. (***)

Từ (*)(**)(***) suy ra các đường cao của $\Delta ABC$ chính là các đường trung trực của $\Delta DFE$.