Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Xác định chiều cao của hình chóp bằng cách sử dụng: Nếu $SA = SB = SC$ thì $S$ thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ hay chân đường cao hạ từ $S$ xuống $\left( {ABC} \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

+ Tính chiều cao $SH$ dựa vào định lý Pyatgo

+ Tính thể tích theo công thức $V = \frac{1}{3}hS$ với $h$ là chiều cao hình chóp, $S$ là diện tích đáy.

Giải chi tiết:

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AB = BC$ mà $\angle ABC = 60^\circ$ nên $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$

Gọi $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $O$ là giao điểm hai đường chéo hình thoi.

Vì $SA = SB = SC$ nên $S$ thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ hay chân đường cao hạ từ $S$ xuống $\left( {ABC} \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $H$ của tam giác $ABC.$ Hay $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$

+ Vì $ABC$ đều cạnh $a$ tâm $H$ nên $AC = a;\,BO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,BH = \frac{2}{3}BO = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

+ Vì $SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot BD$

+ Xét tam giác $BHD$ vuông tại $H$ có $SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}$

+ Diện tích hình thoi $ABCD$ là $\frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}AC.2BO = \frac{1}{2}a.2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

Thể tích ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}.$

Chọn A.