Tổng các nghiệm của phương trình\(\,\,\,\,\,1 + {\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Biến đổi \({\cos ^3}x - {\sin ^3}x = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x\cos x} \right)\)

- Đặt \(t =  - \sin x + \cos x =  - \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)\)   (Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)), khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{ - {t^2} + 1}}{2}\). Đưa phương trình về bậc 3 ẩn t.

Giải chi tiết:

Đặt \(t =  - \sin x + \cos x =  - \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)\)   (Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)), khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\). Phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,1 + {\cos ^3}x - {\sin ^3}x = \sin 2x \Leftrightarrow 1 + \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x\cos x} \right) = 2\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow 1 + t\left( {1 + \frac{{1 - {t^2}}}{2}} \right) = 1 - {t^2} \Leftrightarrow 2 + 2t + t - {t^3} = 2 - 2{t^2} \Leftrightarrow {t^3} - 2{t^2} - 3t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = 3\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\left( {k \in Z} \right).\)

Với  \(t =  - 1 \Leftrightarrow  - \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \pi  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

Xét:

\(\begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{4} + k\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} \le k \le \frac{7}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right\}\\0 \le \frac{\pi }{2} + k2\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} \le k \le \frac{3}{4} \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\\0 \le \pi  + k2\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le k \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x = \pi \end{array}\)\(\)

Tổng các nghiệm là: \(\frac{\pi }{4} + \frac{{5\pi }}{4} + \frac{\pi }{2} + \pi  = 3\pi \)

Chọn B.