Cho hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - 3{x^2} + 1...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi phương trình tiếp tuyến và sử dụng điều kiện tiếp xúc

Giải chi tiết:

Ta có: $f\left( { - x} \right) = \left| {{{\left( { - x} \right)}^3}} \right| - 3{\left( { - x} \right)^2} + 1 = \left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1 = f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right)$  là hàm chẵn.

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị $\left( C \right)$ của nó đối xứng qua $Oy$. Do đó từ điểm $A$ trên trục $Oy$ nếu kẻ được một tiếp tuyến $d$ đến $\left( C \right)$ thì ảnh của $d$ qua phép đối xứng trục $Oy$ cũng là một tiếp tuyến của $\left( C \right)$.

Vậy để qua điểm $A$ trên trục $Oy$ có thể kẻ đến $\left( C \right)$ đúng ba tiếp tuyến thì điều kiện cần là có một tiếp tuyến của $\left( C \right)$ qua $A$ mà tiếp tuyến này vuông góc với $Oy$, tức là tiếp tuyến này có hệ số góc bằng $0$.

Ta có: $y = \left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 3{x^2} + 1{\rm{ }}\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,\,\,x \ge 0\\ - {x^3} - 3{x^2} + 1{\rm{ }}\,\,{\rm{khi }}\,\,\,x < 0 \end{array} \right. \Rightarrow y' = \left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} - 6x{\rm{ }}\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,\,\,x > 0\\ - 3{x^2} - 6x{\rm{ }}\,\,{\rm{khi }}\,\,x < 0 \end{array} \right..$

Mặt khác: $\left\{ \begin{array}{l} y'\left( {{0^ + }} \right) = 0\\ y'\left( {{0^ - }} \right) = 0 \end{array} \right. \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 0.$

Lại có: $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 3{x^2} - 6x = 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ - 3{x^2} - 6x = 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\;\;\; \Rightarrow y\left( 2 \right) = - 3.\\ x = - 2\;\; \Rightarrow y\left( { - 2} \right) = - 3. \end{array} \right.$

Từ đó ta thấy có hai tiếp tuyến có hệ số góc bằng $0$ là $d & :y = 1$ và $d':y =  - 3$. Và $d$ cắt $Oy$ tại $A = \left( {0;1} \right)$, $d'$ cắt $Oy$ tại $A' = \left( {0; - 3} \right)$.

Ta viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ $A = \left( {0;1} \right)$ đến nhánh bên phải $Oy$ của $\left( C \right)$.

 Xét hệ phương trình:  $\left\{ \begin{array}{l} k = 3{x^2} - 6x\\ {x^3} - 3{x^2} + 1 = kx + 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ k = 0 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{3}{2}\\ k = - \frac{9}{4} \end{array} \right.$

Vậy từ $A = \left( {0;1} \right)$ kẻ được hai tiếp tuyến đến nhánh bên phải $Oy$ của $\left( C \right)$, trong đó có một tiếp tuyến vuông góc với $Oy$ và một tiếp tuyến không vuông góc với $Oy$. Suy ra từ $A = \left( {0;1} \right)$ kẻ được $3$ tiếp tuyến đến $\left( C \right)$.

Ta viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ $A' = \left( {0; - 3} \right)$ đến nhánh bên phải $Oy$ của $\left( C \right)$.

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}k = 3{x^2} - 6x\\{x^3} - 3{x^2} + 1 = kx - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\k = 0\end{array} \right.$.

Vậy từ $A' = \left( {0; - 3} \right)$ kẻ được một tiếp tuyến duy nhất đến nhánh bên phải $Oy$ của $\left( C \right)$ mà tiếp tuyến này vuông góc với $Oy$. Suy ra từ $A' = \left( {0; - 3} \right)$ kẻ được một tiếp tuyến duy nhất đến $\left( C \right)$.

Vậy $A = \left( {0;1} \right)$ là điểm duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C