Tìm tọa độ điểm A và D.

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung điểm.

Giải chi tiết:

Gọi H  là giao điểm của AP với  DN

Dễ chứng minh được \(CM \bot DN\), tứ giác APCM là hình bình hành

\( \Rightarrow HP//IC,\;HP\)  là đường trung bình của \(\Delta DIC\)

\( \Rightarrow \) H  là trung điểm của ID

Có \(\Delta AID\)  cân tại A, \(\Delta DIC\) vuông tại I nên \(AI = AD\,;\,\,IP = ID\)

\( \Rightarrow \Delta AIP = \Delta ADP\)  hay \(AI \bot IP\).

Đường thẳng AI  đi qua  I  và vuông góc với IP nên ta có hệ phương trình: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 7t\\y = 2 - t\end{array} \right..\\IP = \left| {\overrightarrow {IP} } \right| = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}.\end{array}\)

Gọi \(A\left( {5 + 7t;2 - t} \right)\).  Vì \(AI = 2IP \Leftrightarrow A{I^2} = {\left( {5\sqrt 2 } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 49{t^2} + {t^2} = 50 \Leftrightarrow {t^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {12;\;1} \right)\\A\left( { - 2;\;3} \right)\end{array} \right.\)

Do A có hoành độ âm nên \(t =  - 1 \Rightarrow A\left( { - 2;3} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AP}  = \left( {\frac{{15}}{2};\;\frac{5}{2}} \right) = \frac{5}{2}\left( {3;\;1} \right).\)

Đường thẳng AP có phương trình: \(x + 2 - 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 11 = 0.\)

Đường thẳng DN  đi qua \(I\) và vuông góc với \(AP\) có phương trình:

\(3\left( {x - 5} \right) + y - 2 = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 17 = 0\)

\(AP \cap DN = \left\{ H \right\} \Rightarrow \) tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 11 = 0\\3x + y - 17 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {4;5} \right).\)

H  là trung điểm của ID \( \Rightarrow D\left( {3;8} \right)\)

Vậy \(A\left( { - 2;3} \right),\,\,D\left( {3;8} \right)\) 

Chọn D.