Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn \(f\left( x \right) +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Nhân cả hai vế của đẳng thức với ${e^{\sqrt x }}$ rồi chia cả hai vế cho $2\sqrt x$.

- Lấy tích phân từ $0$ đến $1$ hai vế thu được và suy ra kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: $f\left( x \right) + 2\sqrt x f'\left( x \right) = 3x{e^{ - \sqrt x }},\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\,\,\,\left( * \right)$

$\Rightarrow {e^{\sqrt x }}f\left( x \right) + 2\sqrt x {e^{\sqrt x }}f'\left( x \right) = 3x$ $\Rightarrow \dfrac{{{e^{\sqrt x }}f\left( x \right)}}{{2\sqrt x }} + {e^{\sqrt x }}f'\left( x \right) = \dfrac{{3x}}{{2\sqrt x }}$ (với $x > 0$)

$\Rightarrow \left[ {{e^{\sqrt x }}f\left( x \right)} \right]' = \dfrac{{3\sqrt x }}{2} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{e^{\sqrt x }}f\left( x \right)} \right]'dx}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{{3\sqrt x }}{2}dx}$

$\Rightarrow \left. {\left[ {{e^{\sqrt x }}f\left( x \right)} \right]} \right|_0^1 = \left. {\left( {{{\sqrt x }^3}} \right)} \right|_0^1 \Rightarrow e.f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 1$

Mà từ $\left( * \right)$ ta có: $f\left( 0 \right) = 0$ nên $e.f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{e}$.

Chọn C.