Cho tứ diện $ABCD$ có \(AB = CD = 11m;BC = AD =...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng hình hộp chữ nhật $AMCN.PBQD$ sao cho các đường chéo $AB = CD = 11m;BC = AD = 20m;BD = AC = 21m.$

Từ đó ta phân chia thể tích các hình chóp nhỏ trong hình hộp chữ nhật để tính được ${V_{ABCD}}$ theo thể tích hình hôp chữ nhật.

Dựa vào định lý Pytago để tính các kích thước của hình hộp chữ nhật từ đó suy ra thể tích ${V_{ABCD}}$

Giải chi tiết:

Dựng hình hộp chữ nhật $AMCN.PBQD$ như hình bên.  Khi đó tứ diện $ABCD$ thỏa mãn $AB = CD = 11m;BC = AD = 20m;BD = AC = 21m.$

Gọi các kích thước hình hộp chữ nhật là $m;n;p$ . Gọi $V = {V_{AMCN.PBQD}} = m.n.p$

Ta có: ${V_{PA{\rm{D}}B}} = {V_{MABC}} = {V_{QBC{\rm{D}}}} = {V_{NAC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}.ND.{S_{ACN}}$ $= \frac{1}{3}.ND.\frac{1}{2}.AN.NC = \frac{1}{6}.ND.NA.NC = \frac{1}{6}m.n.p = \frac{1}{6}{V_{AMCN.PBQ{\rm{D}}}}$

Suy ra ${V_{PA{\rm{D}}B}} + {V_{MABC}} + {V_{QBC{\rm{D}}}} + {V_{NAC{\rm{D}}}} = \frac{1}{6}V + \frac{1}{6}V + \frac{1}{6}V + \frac{1}{6}V = \frac{2}{3}V$  mà ${V_{PA{\rm{D}}B}} + {V_{MABC}} + {V_{QBC{\rm{D}}}} + {V_{NAC{\rm{D}}}} + {V_{ABCD}} = V$

Suy ra: ${V_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}V = m.n.p$

Xét các tam giác vuông $APB;\,APD;PDB$, theo định lý Pytago ta có

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2} = B{D^2}\\{m^2} + {p^2} = A{D^2}\\{p^2} + {n^2} = A{B^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2} = {21^2}\\{m^2} + {p^2} = {20^2}\\{p^2} + {n^2} = {11^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2} + {p^2} = 481\\{m^2} + {n^2} = {21^2}\\{m^2} + {p^2} = {20^2}\\{p^2} + {n^2} = {11^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 6\sqrt {10} \\n = 9\\p = 2\sqrt {10} \end{array} \right.$

${V_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}m.n.p = \frac{1}{3}.6\sqrt {10} .9.2\sqrt {10}  = 360{m^3}$

Chọn D.