Cho tam giác ABC có $a = 4,b = 3,c = 6$ và G là...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức trung tuyến:

$\eqalign{  & \,\,\,\,\,m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \cr}$

Kết hợp sử dụng tính chất trọng tâm ta có  $G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}={2 \over 3}$ ($m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$)

Giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{  & \,\,\,\,\,m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4}  \cr   &  \Rightarrow m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} + {{{a^2} + {c^2}} \over 2} + {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} - {{{b^2}} \over 4} - {{{c^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \over 2} - {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over 4}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3 \over 4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = {{183} \over 4} \cr}$

Theo tính chất trọng tâm ta có: $G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = {4 \over 9}\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} \right) = {{61} \over 3}$

Chọn D.