Cho hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị n...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp. Sử dụng kết quả điều kiện cần và đủ cho một cực trị của hàm số. Áp dụng vào bài tập này. Ta tính đạo hàm $y'$ Tìm điều kiện để $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt. Sử dụng tiếp điều kiện để cực trị là âm để loại phương án.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có ba điểm cực trị và các điểm cực trị này đều âm.

Để hàm số đã cho có ba điểm cực trị thì điều kiện cần là $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt. Khi đó $4a{x^3} + 2bx = 0$ cần có ba nghiệm phân biệt. Ta có $4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2a{x^2} + b = 0\,\,\left( 1 \right).\end{array} \right.$

Để $4a{x^3} + 2bx = 0$ có ba nghiệm phân biệt thì phương trình $1$ cần có hai nghiệm phân biệt khác $0.$ Do đó

$\left\{ \begin{array}{l}a,b \ne 0\\- \frac{b}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a,b \ne 0\\ab < 0\end{array} \right..$

Mặt khác ta lại có $y\left( 0 \right) = c$ nên $x=0$  là điểm cực trị thì ta phải có $y\left( 0 \right) = c < 0.$ Do đó đáp án $A,C$ bị loại.

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty$ nên trong trường hợp này $a>0.$  Và do đó $b<0$  (vì $ab<0$ ).

Chọn đáp án B.