Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển...

B

- Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left( {\sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5}} \right)^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)}^{2019 - k}}{{\left( {\sqrt[5]{5}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{3^{\frac{{2019 - k}}{3}}}{5^{\frac{k}{5}}}}$

Số hạng là số nguyên trong khai triển $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{k}{5} \in Z\\ \frac{{2019 - k}}{3} \in Z\\ 0 \le k \le 2019 \end{array} \right.$

$\Rightarrow k \vdots 5,\left( {2019 - k} \right) \vdots 3$. Mà $2019 \vdots 3 \Rightarrow k \vdots 3$

Mà  $\left( {3;5} \right) = 1 \Rightarrow k \vdots 15 \Rightarrow k = 15m\left( {m \in Z} \right)$

Mà $0 \le k \le 2019 \Leftrightarrow 0 \le 15m \le 2019 \Leftrightarrow 0 \le m \le 134,6 \Leftrightarrow$ Có 134 số nguyên k thỏa mãn.

Vậy khai triển trên có 134 số hạng là số nguyên.