Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp dường...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của đường cao và tỉ lệ tam giác.

Giải chi tiết:

Gọi $H$ là trực tâm $\Delta ABC$, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\angle BHM = \angle AHN = {90^0} - \angle HAC\\\angle BMH = \angle BMA = \angle BCA = {90^0} - \angle HAC\end{array} \right. \Rightarrow \angle BHM = \angle BMH$

Do đó $\Delta BHM$cân tại $B \Rightarrow$ Đường cao $BD$ đồng thời là trung tuyến.

$\Rightarrow DH = DM$.

Chứng minh tương tự ta được: $HE = EN,\,\,\,HF = FP$.

Khi đó:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{AM}}{{AD}} + \dfrac{{BN}}{{BE}} + \dfrac{{CP}}{{CF}}\\ = \dfrac{{AD + DM}}{{AD}} + \dfrac{{BE + EN}}{{BE}} + \dfrac{{CF + FP}}{{CF}}\\ = 3 + \dfrac{{DM}}{{AD}} + \dfrac{{EN}}{{BE}} + \dfrac{{FP}}{{CF}}\\ = 3 + \dfrac{{HD}}{{AD}} + \dfrac{{HE}}{{BE}} + \dfrac{{HF}}{{CF}}\end{array}$

Mặt khác: $\dfrac{{HD}}{{AD}} + \dfrac{{HE}}{{BE}} + \dfrac{{HF}}{{CF}} = \dfrac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1$

Vậy $\dfrac{{AM}}{{AD}} + \dfrac{{BN}}{{BE}} + \dfrac{{CP}}{{CF}} = 4$ (đpcm).