Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{4^x} - {2^x} + m} \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Hàm số $y = {\log _a}f\left( x \right)\,\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)$ có tập xác định là R $\Leftrightarrow f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in R$

+) Sử dụng phương pháp hàm số để giải bất phương trình.

Giải chi tiết:

Hàm số $y = {\log _2}\left( {{4^x} - {2^x} + m} \right)$ có tập xác định $D = R$

$\Leftrightarrow {4^x} - {2^x} + m > 0\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow m > {2^x} - {4^x}\,\forall x \in R\,$

Xét hàm số $f\left( x \right) = {2^x} - {4^x}$ ta có $m > f\left( x \right)\,\,\forall x \in R \Rightarrow m > \mathop {\max }\limits_R f\left( x \right)$

Ta có :

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - {4^x}\ln 4 = 0 \Leftrightarrow {2^x}\ln 2 = {4^x}\ln 4\\ \Leftrightarrow {2^x} = \frac{{\ln 2}}{{\ln 4}} \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{{\ln 2}}{{\ln 4}} = {\log _2}\left( {{{\log }_4}2} \right) = {\log _2}\frac{1}{2} =  - 1\end{array}$

BBT:

Dựa vào BBT ta có : $\mathop {\max }\limits_R f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow m > \frac{1}{4}$

Chọn A.