Trong không gian $Oxyz,$ cho đ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đường thẳng $d$ cần tìm thuộc $\left( P \right)$ và vuông góc với $\Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right].$

Gọi $M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};\ {{z}_{0}} \right)$ là giao điểm của $\left( P \right)$ và $\Delta \Rightarrow d$ đi qua $M.$

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};\ {{z}_{0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( a;\ b;\ c \right)$ có phương trình: $\left\{ \begin{align}  & x={{x}_{0}}+at \\ & y={{y}_{0}}+bt \\ & z={{z}_{0}}+ct \\\end{align} \right..$

Giải chi tiết:

Ta có: $\Delta :\ \left\{ \begin{align}  & x=t \\ & y=-1+2t \\& z=1+t \\\end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;\ 2;\ 1 \right)$ và đi qua $A\left( 0;-1;\ 1 \right).$

Gọi $M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};\ {{z}_{0}} \right)$ thuộc $\Delta \Rightarrow M\left( t;\ -1+2t;\ 1+t \right).$

$M$ là giao điểm của $\Delta$ và $\left( P \right)\Rightarrow t-2\left( -1+2t \right)-\left( 1+t \right)+3=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M\left( 1;\ 1;\ 2 \right).$

Đường thẳng $d$ cần tìm thuộc $\left( P \right)$ và vuông góc với $\Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right].$

$\Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { - 2}&{ - 1} \end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 1}&1 \end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 1&{ - 2} \end{array}} \right|} \right) = \left( {0;\;2;\; - 4} \right) = - 2\left( {0; - 1;\;2} \right).$

Vậy $d:\ \ \left\{ \begin{align}  & x=1 \\ & y=1-t \\ & z=2+2t \\\end{align} \right..$

Chọn A.