Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{ar...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại $x = 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).$

Sử dụng các quy tắc tính giới hạn của hàm số để tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right).$Sau đó xác định điều kiện của $a.$

Giải chi tiết:

Hàm số liên tục tại $x = 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\,\,\left( 1 \right).$

Ta có $f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2},$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{\rm{ax}} + 1} \right) = a + 1\,\,\left( 2 \right).$

Hơn nữa $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{2} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( 3 \right).$

Từ $\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)$ ta nhận được $a + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{2}.$

Chọn C.