Rút gọn biểu thức: a) \(\left( {\frac{9}{{{x^3} -...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân chia hai hay nhiều phân thức, áp dụng tính chất phân phối của phép nhân và phép cộng để tính thuận tiện nhất, thứ tự thực hiện phép tính, rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng, rút gọn.

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l}a)\left( {\frac{9}{{{x^3} - 9x}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right):\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 3x}} - \frac{x}{{3x + 9}}} \right)\\= \left( {\frac{9}{{x({x^2} - 9)}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right):\left( {\frac{{x - 3}}{{x(x + 3)}} - \frac{x}{{3(x + 3)}}} \right)\\= \left( {\frac{9}{{x(x - 3)(x + 3)}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right):\left( {\frac{{x - 3}}{{x(x + 3)}} - \frac{x}{{3(x + 3)}}} \right)\\= \frac{{9 + x(x - 3)}}{{x(x - 3)(x + 3)}}:\frac{{3(x - 3) - x.x}}{{3x(x + 3)}}\\= \frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{x(x - 3)(x + 3)}}:\frac{{ - {x^2} + 3x - 9}}{{3x(x + 3)}}\\= \frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{x(x - 3)(x + 3)}} \cdot \frac{{3x(x + 3)}}{{ - ({x^2} - 3x + 9)}}\\= \frac{{ - 3}}{{x - 3}}\end{array}$

$\begin{array}{l}b)\frac{{x - 2}}{{{x^2} + 3x + 2}}\, \cdot \,\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 5x + 6}}\\= \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 2x + 2}}\, \cdot \,\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x - 3x + 6}}\\= \frac{{x - 2}}{{x(x + 1) + 2(x + 1)}}\, \cdot \,\frac{{x + 2}}{{x(x - 2) - 3(x - 2)}}\\= \frac{{x - 2}}{{(x + 1)(x + 2)}}\, \cdot \,\frac{{x + 2}}{{(x - 2)(x - 3)}}\\= \frac{1}{{(x + 1)(x - 3)}}.\end{array}$

$c)\frac{{{x^2} + 1}}{{3x}}:\frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}:\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}:\frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$

$= \frac{{{x^2} + 1}}{{3x}} \cdot \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{{x^2} + x}}{{{x^3} - 1}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}$

$= \frac{{x - 1}}{{3x}} \cdot \frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}$

$= \frac{{x + 1}}{{3({x^2} + x + 1)}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{3(x + 1)}}.$

$d)\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}:\frac{{x + 4}}{{{x^2} + 6x}} - \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}:\frac{{x + 4}}{{x - 4}}$

$= \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{{x^2} + 6x}}{{x + 4}} - \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{x - 4}}{{x + 4}}$

$= \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 6x}}{{x + 4}} - \frac{{x - 4}}{{x + 4}}} \right)$

$= \frac{{x + 3}}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \frac{{{x^2} + 6x - x + 4}}{{x + 4}}$

$= \frac{{x + 3}}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{x + 4}}$

$= \frac{{x + 3}}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \frac{{(x + 1)(x + 4)}}{{x + 4}} = \frac{{x + 3}}{{x - 1}}.$

Chọn B.