Tính tổng các nghiệm dương bé hơn $2\pi$ của ph...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-        Chuyển vế và nhóm nhân tử  cùng bậc

$(\sin x - \cos x) + ({\sin ^2}x - {\cos ^2}x) + ({\sin ^3}x - {\cos ^3}x) + ({\sin ^4}x - {\cos ^4}x) = 0$

-        Dùng các hằng đẳng thức để đưa về nhân tử chung là $\sin x - \cos x$.

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow (\sin x - \cos x) + ({\sin ^2}x - {\cos ^2}x) + ({\sin ^3}x - {\cos ^3}x) + ({\sin ^4}x - {\cos ^4}x) = 0\\ \Leftrightarrow (\sin x - \cos x)\left[ {1 + \left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {1 + \sin x\cos x} \right) + \left( {\sin x + \cos x} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right)\left[ {2 + 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + \sin x\cos x} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x - \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2 + 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + \sin x\cos x = 0\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}$

Giải (1)   ta được $\sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Giải (2):   Đặt $\sin x + \cos x = t\,\,\,\,\,\,\,\left( {\,\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right)$  (*)     suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$

Khi đó phương trình có dạng:     $2 + 2t + \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - 3\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$  $\begin{array}{l} \Rightarrow \sin x + \cos x =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + m2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{2} + m2\pi \\x = \pi  + l2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left( {m,\;l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

Phương trình có nghiệm thuộc $\left( {0;\;2\pi } \right)$  $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 <  - \frac{\pi }{2} + m2\pi  < 2\pi  \Leftrightarrow m = 1\\0 < \pi  + l2\pi  < 2\pi  \Leftrightarrow l = 0\\0 < \frac{\pi }{4} + k\pi  < 2\pi  \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\;1} \right\}\end{array} \right.$

Ta có các nghiệm là: $\frac{\pi }{4};\,\frac{{5\pi }}{4}\,;\,\pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}$, tổng các nghiệm là: $\frac{\pi }{4} + \frac{{5\pi }}{4} + \pi  + \frac{{3\pi }}{2} = 4\pi$.