Hàm số

- Hướng dẫn giải

Xét hàm số $g\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+mx\sqrt{x^2+1}$

ta có

+) Với m > 0 thì (1) vô nghiệm; với m = 0 thì (1) có đúng 1 nghiệm x=0; với m < 0 khi đó ta có

chỉ nhận nghiệm

vì 

Vậy với m < 0 thì g(x) có 3 nghiệm phân biệt là các nghiệm đơn.

Tiếp theo ta biện luận số điểm cực trị của  với

+) Nếu $m\ge 0$$\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)\ge x^2\ge 0,\forall x$ nên g(x) không có điểm cực trị.

+) nếu m < 0 khi đó g'(x)=0$\iff$$m=-\frac{x^2\sqrt{x^2+1}}{2x^2+1}\left(*\right)$. Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m < 0, tức g(x) có 2 điểm cực trị với mọi m < 0.

Tóm lại hàm số  có tối đa 3 + 2 = 5 điểm cực trị.

Chọn đáp án C.