Cho hệ \(\left\{ \begin{array}{l}9{x^2} - 4{y^2} =...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có: $9{x^2} - 4{y^2} = 5 \Leftrightarrow (3x - 2y)(3x + 2y) = 5 \Leftrightarrow 3x - 2y = \dfrac{5}{{3x + 2y}}$

Khi đó, ta có:

$\begin{array}{l} {\log _m}(3x + 2y) - {\log _3}(3x - 2y) = 1 \Leftrightarrow {\log _m}(3x + 2y) - {\log _3}\dfrac{5}{{3x + 2y}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\log }_3}(3x + 2y)}}{{{{\log }_3}m}} - {\log _3}5 + {\log _3}(3x + 2y) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\log }_3}(3x + 2y)}}{{{{\log }_3}m}} = {\log _3}5 - {\log _3}(3x + 2y) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}m = \dfrac{{{{\log }_3}(3x + 2y)}}{{{{\log }_3}5 - {{\log }_3}(3x + 2y) + 1}}\,\,(1) \end{array}$

Xét hàm số $y = f(t) = \dfrac{t}{{{{\log }_3}5 - t + 1}},t \in \left( { - \infty ;{{\log }_3}5} \right]$

$f'(t) = \dfrac{{{{\log }_3}5 + 1}}{{{{({{\log }_3}5 - t + 1)}^2}}} > 0,\,\,\forall t \in \left( { - \infty ;{{\log }_3}5} \right]$

Bảng biến thiên:

Vậy, để (1) có nghiệm thì $- 1 < {\log _3}m \le {\log _3}5 \Rightarrow \dfrac{1}{3} < m \le 5$

=> Giá trị lớn nhất của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là 5.

Chọn: C.