Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là tứ giá...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định chiều cao, diện tích đáy qua yếu tố chu vi và góc giữa hai mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên $SI\bot AB$ và $SI=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Mặt khác $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)$ nên $SI\bot \left( ABCD \right)$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}SI.{{S}_{ABCD}}$.

Kẻ $IH\bot BC$ ta có góc giữa $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{SHI}$. Do các mặt $\left( SBC \right)$, $\left( SCD \right)$, $\left( SDA \right)$ tạo với $\left( ABCD \right)$ các góc bằng nhau và bằng $60{}^\circ$ nên các khoảng cách từ $I$ đến các cạnh $CD$, $DA$ bằng nhau và bằng $IH$. Ta có $\widehat{SHI}=60{}^\circ$ nên $IH=SI.\cot 60{}^\circ$$=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{\sqrt{3}}$$=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Diện tích ${{S}_{ABCD}}=$$\frac{1}{2}\left( BC+CD+DA \right).HI$$=\frac{1}{2}\left( 9a-AB \right).\frac{a\sqrt{6}}{6}$$=\frac{2{{a}^{2}}\sqrt{6}}{3}$.

Vậy $V=\frac{1}{3}SI.{{S}_{ABCD}}$$=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{2}}{2}\frac{2{{a}^{2}}\sqrt{6}}{3}$$=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.

Chọn A