a) Cho \(\sin a =  - \frac{4}{5}\), với \(\pi  &lt...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính \(\cos x\), từ đó tính các giá trị còn lại

b)  \(\sin 2x = 2\sin x\cos x;\,\,\,\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}};\,\,\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x.\)

Giải chi tiết:

a)  Cho \(\sin a =  - \frac{4}{5}\), với \(\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}\) . Tính \(\cos a,\,\,cos2a,\,\,\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right),\,\,\tan ( - a).\)

\(\begin{array}{l}{\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \cos a =  - \frac{3}{5}\,\,\,\left( {do\,\,\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}} \right)\\ \Rightarrow \cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2.\frac{{16}}{{25}} =  - \frac{7}{{25}}.\\ \Rightarrow \sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin a.\cos \frac{\pi }{6} + \cos a.\sin \frac{\pi }{6} =  - \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{3}{5}.\frac{1}{2} = \frac{{ - 3 - 4\sqrt 3 }}{{10}}.\\ \Rightarrow \tan ( - a) =  - \tan a =  - \frac{{\sin a}}{{\cos a}} =  - \frac{4}{5}.\frac{5}{3} =  - \frac{4}{3}.\end{array}\)

b)  Chứng minh đẳng thức : \(2\cot 2x.\cot x + 1 = {\cot ^2}x.\)

\(\begin{array}{l}VT = 2.\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} + 1 = \frac{{2.\cos 2x}}{{2{{\sin }^2}x.\cos x}}.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x}} + 1\\ = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} + 1 = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = {\cot ^2}x = VP.\end{array}\)

Vậy \(2\cot 2x.\cot x + 1 = {\cot ^2}x.\)

Chọn A.