Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $1$, điểm \(M\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức tính thể tích khối nón $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$ trong đó r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối nón.

+) +) Sử dụng công thức tính thể tích khối nón cụt $V = \dfrac{1}{3}\pi \left( {r_1^2 + r_2^2 + {r_1}{r_2}} \right)h$ trong đó ${r_1},\,\,{r_2}$, h lần lượt là bán kính 2 đáy và chiều cao của khối nón.

Giải chi tiết:

Khi quay hình vuông ABCD quanh AM ta được :

+) 1 khối nón đỉnh A, đường cao AN, bán kính đáy NB $\left( {{V_1}} \right)$.

+) 1 khối nón cụt tâm N, P $\left( {{V_2}} \right)$ - 1 khối nón đỉnh M, đường cao MP, bán kính đáy PC $\left( {{V_3}} \right)$.

Ta có: $\Delta ABN \sim \Delta MAD\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{DM}} = \dfrac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow AN = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.1}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}$.

$\Rightarrow BN = \sqrt {A{B^2} - A{N^2}}  = \sqrt {1 - \dfrac{1}{5}}  = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$.

$\Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2}.\dfrac{1}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{4\sqrt 5 \pi }}{{75}}$

Ta có $\Delta MPC \sim \Delta ANB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{PC}}{{NB}} = \dfrac{{MC}}{{AB}} = \dfrac{{MP}}{{AN}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}PC = \dfrac{1}{2}NB = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\MP = \dfrac{1}{2}AN = \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}\end{array} \right.$.

$\Rightarrow NP = MN + MP = AM - AN + MP = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

$\Rightarrow {V_2} = \dfrac{1}{3}\pi \left( {P{C^2} + B{N^2} + PC.BN} \right).NP = \dfrac{\pi }{3}\left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}.\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right).\dfrac{{2\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{14\sqrt 5 }}{{75}}\pi$.

${V_3} = \dfrac{1}{3}\pi MP.P{C^2} = \dfrac{\pi }{3}.\dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}.{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = \dfrac{{\sqrt 5 \pi }}{{150}}$.

Vậy thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình vuông ABCD quanh cạnh AM là

$V = {V_1} + {V_2} - {V_3} = \dfrac{{4\sqrt 5 \pi }}{{75}} + \dfrac{{14\sqrt 5 }}{{75}}\pi  - \dfrac{{\sqrt 5 \pi }}{{150}} = \dfrac{{7\sqrt 5 }}{{30}}\pi$.

Chọn B.