Tìm 3 số nguyên tố \(p,\,\,q,\,\,r\( sao cho \({p^...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lập luận và đánh giá theo điều kiện cho trước: ${{p}^{q}}+{{q}^{p}}=r$.

Giải chi tiết:

Ta có ${{p}^{q}}+{{q}^{p}}=r\Rightarrow r>{{p}^{q}}$ và $r > {q^p}$.

Giả sử ${p^q}$ là số chẵn suy ra $p$ là số chẵn mà $p$ là số nguyên tố nên $p=2$.

Ta có: ${{2}^{q}}+{{q}^{2}}=r$. Lại có: $p$ chẵn nên $q$ là số nguyên tố lẻ và $q \ge 3$

Xét $p = 2;\,\,q = 3 \Rightarrow r = {p^q} + {q^p} = {2^3} + {3^2} = 17$   (thỏa mãn).

Xét $q>3\Rightarrow {{2}^{q}}$ chia cho 3 dư 2 và$\,{q^2}$ chia cho 3 dư 1.

Nên $r = {2^q} + {q^2}\,\, \vdots \,\,3$ (vô lí).

Vậy 3 số nguyên tố cần tìm là $\left\{ 2;3;17 \right\}$.