Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên t...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chuyển vế và nhân cả hai vế với ${e^{ - x}}$.

+) Lấy nguyên hàm hai vế.

Giải chi tiết:

Chuyển vế và nhân cả hai vế với ${e^{ - x}}$ ta có:

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}{e^x} + 1\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}f\left( x \right) = {x^2} + {e^{ - x}}\end{array}$

Ta có $\left[ {f\left( x \right){e^{ - x}}} \right]' = f'\left( x \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}f\left( x \right)$

$\Rightarrow \left[ {f\left( x \right){e^{ - x}}} \right]' = {x^2} + {e^{ - x}}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được $f\left( x \right){e^{ - x}} = \frac{{{x^3}}}{3} - {e^{ - x}} + C \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}{e^x}}}{3} - 1 + C{e^x}$

Ta có $f\left( 0 \right) =  - 1 \Leftrightarrow  - 1 + C =  - 1 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}{e^x}}}{3} - 1$

$\Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{{{3^3}.{e^3}}}{3} - 1 = 9{e^3} - 1$.

Chọn D.