Cho $\Delta ABC$ cân tại \(A\l...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn.

b) Để chứng minh một tam giác cân ta cần chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau, hoặc hai góc ở đáy bằng nhau.

c) Sử dụng mối liên hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác. Lưu ý: Đối với tam giác vuông cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông.

d) Gọi I là giao điểm của BN và CM, ta chứng minh AH cũng đi qua điểm I. Suy ra, ba đường thẳng BN;AH;CM đồng quy tại 1 điểm (điểm I).

Giải chi tiết:

a) Xét $\Delta ACE$ có: $\angle ADB = \angle AEC = {90^0}\left( {gt} \right)$

                                 $BA = AC\,\left( {gt} \right)$

                               $\angle BAC\,chung$

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE\,$ (cạnh huyền- góc nhọn)

b) $\Delta ABD = \Delta ACE \Rightarrow \angle ABD = \angle ACE$ (hai góc tương ứng)

mặt khác: $\angle ABC = \angle ACB\,\,\,\,\,\,\,(\Delta ABC$ cân tại A)

$\angle ABC - \angle ABD = \angle ACB - \angle ACE \Rightarrow \angle HBC = \angle HCB$

$\Rightarrow \Delta BHC$ là tam giác cân tại H.

c) $\Delta HDC$ vuông tại $D$ nên $HD < HC$ mà $HB = HC\,\,\,(\Delta AIB$cân tại H)

$\Rightarrow HD < HB$

d) Gọi $I$ là giao điểm của $B{\rm N}$ và $CM$

Xét $\Delta B{\rm N}H$ và $\Delta CMH$ có :

$BH = CH\,\,\,\,(\Delta BHC\,$ cân tại $H)$

$\angle BH{\rm N} = \angle CHM$ (đối đỉnh)

$\begin{array}{l}{\rm N}H = HM\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta B{\rm N}H = \Delta CMH\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle HB{\rm N} = HCM\end{array}$

Lại có : $\angle HBC = HCB\,$ (chứng minh câu b)

$\Rightarrow \angle HBC + \angle HB{\rm N} = \angle HCB + \angle HCM \Rightarrow \angle IBC = \angle ICB$

$\Rightarrow IBC$ cân tại $I \Rightarrow IB = IC\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Mặt khác ta có : $AB = AC\,$ ($\Delta ABC$cân tại $A$)     (2)

$HB = HC\,$ ($\Delta HBC$ cân tại $H$ )   (3)

Từ (1) ; (2)  và (3)

$\Rightarrow$ 3 điểm $I;A;H$ cùng nằm trên đường trung trực của $BC$

$\Rightarrow I;A;H$ thẳng hàng, hay AH đi qua I.

$\Rightarrow$ các đường thẳng $B{\rm N};AH;CM$ đồng quy tại điểm I. (đpcm)