Cho biết \(\cos \alpha  + \sin \alpha  = \frac{1}{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức: $\left\{ \begin{array}{l}1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }};\,\,\,\,1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\\{\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \end{array} \right..$

Giải chi tiết:

Ta có:  $\cos \alpha  + \sin \alpha  = \frac{1}{3} \Rightarrow {\left( {\cos \alpha  + \sin \alpha } \right)^2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha  = \frac{1}{9} \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \alpha  =  - \frac{4}{9}.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P = \sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + {{\cot }^2}\alpha }  = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 + \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - 1}  = \sqrt {\frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }} - 2} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{\sin \alpha \cos \alpha }}} \right)}^2} - 2}  = \sqrt {{{\left( { - \frac{9}{4}} \right)}^2} - 2}  = \frac{7}{4}.\end{array}$

Chọn  D.