Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a.\) Tập hợp các đ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi đẳng thức \(4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) theo \(MI\) với \(I\) là điểm thoả mãn \(4\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

Giải chi tiết:

Gọi \(N\) là trung điểm của cạnh \(BC\)

Gọi \(I\) là điểm thoả mãn \(4\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 4\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IN}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IN}  = \overrightarrow 0 ,\)nên điểm \(I\) thuộc \(AN\) sao cho \(IN = 2IA.\)

Khi đó: \(IA = \frac{1}{3}AN = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},IN = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(I{B^2} = I{C^2} = I{N^2} + B{N^2} = \frac{{{a^2}}}{3} + \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{7{a^2}}}{{12}}\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{6} \Leftrightarrow 4{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4.\frac{{{a^2}}}{{12}} + 2.\frac{{7{a^2}}}{{12}} = 5.\frac{{{a^2}}}{{12}} \Leftrightarrow MI = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\end{array}\)

Chọn  D.