Cho phương trình \({x^4} + b{x^3} + {x^2} + bx + 1...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình đối xứng:  \(a{x^4} \pm b{x^3} + c{x^2} \pm kbx + {k^2}a = 0\,\,\left( {k > 0} \right)\)

+) Thay \(x = 0\) vào phương tình xem thỏa mãn là nghiệm?

+) Với \(x \ne 0\). Chia đều 2 vế phương trình cho \({x^2} \ne 0\):

\(pt \Leftrightarrow a\left( {{x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}}} \right) \pm \left( {x + \frac{k}{x}} \right) + c = 0\)

+) Đặt \(t = x + \frac{k}{x}\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2\sqrt k } \right) \Rightarrow {x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} = {t^2} - 2k\)

\( \Rightarrow a\left( {{t^2} - 2k} \right) \pm bt + c = 0 \Rightarrow \) Phương trình bậc 2.

Giải chi tiết:

\(x = 0\) không là nghiệm của \(\left( * \right)\)

Chia cả hai vế của \(\left( * \right)\) cho \({x^2},\) ta có: \(\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1 = 0\)

Đặt \(t = x + \frac{1}{x},\left| t \right| \ge 2,\) ta có: \({t^2} + bt - 1 = 0{\rm{  }}\left( 1 \right)\)

\(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm trái dấu \({t_1},{t_2}:{t_1} < 0 < {t_2}\) thì \({t_1} = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} + 4} }}{2};{t_2} = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} + 4} }}{2}\)

Xem hai phương trình sau:  \(\left[ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = {t_1} \Leftrightarrow {x^2} - {t_1}x + 1 = 0{\rm{  }}\left( 2 \right)\\x + \frac{1}{x} = {t_2} \Leftrightarrow {x^2} - {t_2}x + 1 = 0{\rm{  }}\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

+) Với \({t_2} > 0:\) Nếu \(\left( 3 \right)\) có nghiệm thì cả hai nghiệm của \(\left( 3 \right)\) đều dương \(\left( {P = 1 > 0;S = {t_2} > 0} \right)\)

+) Với \({t_1} > 0:\) Nếu \(\left( 2 \right)\) có nghiệm thì cả hai nghiệm của \(\left( 2 \right)\) đều âm \(\left( {P = 1 > 0;S = {t_1} < 0} \right)\)

Vậy điều kiện để \(\left( * \right)\) có không ít hơn hai nghiệm âm là phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {{t_1}} \right| \ge 2 \Rightarrow {t_1} \le  - 2 \Leftrightarrow \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} + 4} }}{2} \le  - 2 \Leftrightarrow \sqrt {{b^2} + 4}  \ge 4 - b\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - b \le 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - b > 0}\\{{b^2} + 4 > {b^2} - 8b + 16}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b \ge 4}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b < 4}\\{b > \frac{3}{2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b \ge 4}\\{\frac{3}{2} < b < 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow b > \frac{3}{2}} \right.} \right.}\end{array}} \right.\end{array}\)

Chọn  B.