Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{ar...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 2.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Giải chi tiết:

Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\) , liên tục trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f\left( 2 \right) = 3;\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4}  + 3} \right) = 3\)

Để hàm số liên tục tại \(x = 2\)  thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 3 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - mx - 2}}{{x - 2}} = 3\) .

Với \(m = 1\)  thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - mx - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 3\) .

\( \Rightarrow m = 1\) thỏa mãn bài toán.

Với \(m \ne 1\)  thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - mx - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - mx - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left[ {\left( {x + 1} \right) + \frac{{1 - m}}{{x - 2}}} \right] = \infty \)

\( \Rightarrow m \ne 1\) không thỏa mãn bài toán.

Vậy \(m = 1\)  thì hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Chọn C.