Phương trình \(\tan \,x + \tan 2x =  - \sin 3x.\co...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức $\sin \left( {x + y} \right) = \sin x\cos y + \cos x\sin y$

+) Đưa phương trình về dạng tích và giải.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\tan \,x + \tan 2x =  - \sin 3x.\cos 2x \Leftrightarrow \frac{{\sin \,x}}{{\cos x}} + \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} =  - \sin 3x.\cos 2x\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin \,x\cos 2x + \sin 2x\cos x}}{{\cos x\cos 2x}} =  - \sin 3x.\cos 2x\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin 3x}}{{\cos x\cos 2x}} + \sin 3x.\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x\left( {\frac{1}{{\cos x\cos 2x}} + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin 3x\left( {1 + \cos x{{\cos }^2}2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\cos x{\cos ^2}2x =  - 1\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}$

+) Giải (1):

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3x = k\pi ,k \in Z \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{3},k \in Z$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

+) Giải (2):

Ta có: $- 1 \le \cos x \le 1,\,\,\,0 \le {\cos ^2}2x \le 1,\,\,\,\forall x\,\,\,\,\, \Rightarrow  - 1 \le \cos x{\cos ^2}2x \le 1,\,\,\,\forall x$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x =  - 1\\{\cos ^2}2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pi  + k2\pi ,\,\,k \in Z\\\sin 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pi  + k2\pi ,\,\,k \in Z\\\sin \left( {2\left( {\pi  + k2\pi } \right)} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi ,\,\,k \in Z\,\,\,\left( {tm\,\,DKXD} \right)\end{array}$

Kết hợp nghiệm của hai phương trình (1) và (2) ta được, phương trình $\tan \,x + \tan 2x =  - \sin 3x.\cos 2x$ có tập nghiệm là: $S = \left\{ {k\frac{\pi }{3},k \in Z} \right\}$.

Chọn: B