Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của BC ta có: $NE//BB' \Rightarrow NE \bot \left( {ABCD} \right)$

Gọi $I = AE \cap MD$

Ta có: $\Delta ABE = \Delta DAM\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {ADM}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat {BAE} + \widehat {EAD} = \widehat {BAD} = {90^0} \Rightarrow \widehat {EAD} + \widehat {ADM} = {90^0} \Rightarrow \widehat {AID} = {90^0} \Rightarrow AE \bot MD$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}NE \bot MD\,\,\left( {NE \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AE \bot MD\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MD \bot \left( {ANE} \right)$

Trong (ANE) kẻ $IK \bot AN\,\,\left( 1 \right)$ 

$MD \bot \left( {ANE} \right) \supset IK \Rightarrow IK \bot MD\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $IK$là đường vuông góc chung của AN và MD$\Rightarrow d\left( {AN;DM} \right) = IK$

Ta có: $\Delta AIK \sim \Delta ANE\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{IK}}{{NE}} = \dfrac{{AI}}{{AN}} \Rightarrow IK = \dfrac{{NE.AI}}{{AN}}$

BENB’ là hình chữ nhật $\Rightarrow NE = BB' = a$

Xét tam giác vuông ABE có: $AE = \sqrt {A{B^2} + B{E^2}}  = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Xét tam giác vuông ANE có: $AN = \sqrt {A{E^2} + N{E^2}}  = \sqrt {\dfrac{{5{a^2}}}{4} + {a^2}}  = \dfrac{{3a}}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADM có: $\dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{A{M^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow AI = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}$

$\Rightarrow IK = \dfrac{{NE.AI}}{{AN}} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}}}{{\dfrac{{3a}}{2}}} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{{15}}$ 

Vậy $d\left( {AN;DM} \right) = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{{15}}$

Chọn B.