Có bao nhiêu giá trị nguyên ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt $t={{3}^{1+x}}-{{3}^{1-x}}=f\left( x \right)\,\,\,\forall x\in \left[ 0;1 \right]$, tìm khoảng giá trị của t.

+) Đưa phương tình ban đầu về phương trình bậc 2 ẩn t, tìm điều kiện đề phương trình bậc 2 ẩn t có nghiệm trên khoảng vừa xác định.

Giải chi tiết:

Đặt $t={{3}^{1+x}}-{{3}^{1-x}}=f\left( x \right)\,\,\,\forall x\in \left[ 0;1 \right]$ ta có $f'\left( x \right)={{3}^{1+x}}\ln 3+{{3}^{1-x}}\ln 3>0\Rightarrow$hàm số đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$, $\Rightarrow f\left( 0 \right)=0\le f\left( x \right)\le f\left( 1 \right)=8\Rightarrow f\left( x \right)\in \left[ 0;8 \right]$  hay $t\in \left[ 0;8 \right]$ 

Ta có ${{t}^{2}}={{9}^{1+x}}+{{9}^{1-x}}-{{2.3}^{1+x+1-x}}={{9}^{1+x}}+{{9}^{1-x}}-18\Leftrightarrow {{9}^{1+x}}+{{9}^{1-x}}={{t}^{2}}+18$

Khi đó phương trình trở thành ${{t}^{2}}+18=3\left( m+2 \right)t+45-27m$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} - 3\left( {m + 2} \right)t + 27m - 27 = 0\,\,\forall t \in \left[ {0;8} \right]\\ \Leftrightarrow {t^2} - 6t - 27 - 3m\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 9} \right)\left( {t + 3} \right) - 3m\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 9} \right)\left( {t + 3 - 3m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 9 \notin \left[ {0;8} \right]\\t = 3m - 3\end{array} \right.\end{array}$

Đề phương trình ban đầu có nghiệm $x\in \left[ 0;1 \right]$ thì phương trình (*) có nghiệm $t\in \left[ 0;8 \right]$ thì

$0\le 3m-3\le 8\Leftrightarrow 1\le m\le \frac{11}{3}\overset{m\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,m\in \left\{ 1;2;3 \right\}$

Vậy có 3 giá trị m nguyên để phương trình ban đầu có nghiệm thuộc [0; 1]

Chọn A.