Biết rằng hệ số của ${{x}^{4}}$ trong khai triển...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton ta có số hạng tổng quát là ${{T}_{k}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{\left( -x \right)}^{n-k}}.$ Do cần tính hệ số của ${{x}^{4}}$ nên ta có $n-k=4.$ Thay vào ${{T}_{k}}$ và cho ${{T}_{k}}=60$ giải và tìm $k,$ rồi suy ra $n.$

Giải chi tiết:

Số hạng tổng quát là ${{T}_{k}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{\left( -x \right)}^{n-k}}.$

Hệ số của ${{x}^{4}}$ có dạng $n-k=4\Rightarrow n=k+4\Rightarrow {{T}_{k}}=C_{k+4}^{k}{{.2}^{k}}.$

Do hệ số này bằng $60$ nên ta có $C_{k+4}^{k}{{.2}^{k}}=60\Leftrightarrow \frac{\left( k+4 \right)!}{k!.4!}{{.2}^{k}}=60\Leftrightarrow \left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)\left( k+4 \right){{2}^{k}}=60.4!\Leftrightarrow k=2\Rightarrow n=2+4=6.$

Chọn đáp án B.