Cho biểu thức: \(A=\left( 1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Để A nguyên thì tử số phải chia hết cho mẫu số.

Giải chi tiết:

a)     Điều kiện: $x\ge 0,\ x\ne 4,\ x\ne 9.$

$\begin{array}{l} A = \left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right)\\ \;\;\; = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3) - (\sqrt x + 2)(\sqrt x - 2) + \sqrt x + 2}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x - 2)}}\\ \;\;\; = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{x - 9 - x + 4 + \sqrt x + 2}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x - 2)}}\\ \;\;\; = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{\sqrt x - 3}}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x - 3)}}\\ \;\;\; = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{1}\\ \;\;\; = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}. \end{array}$

b)  Ta có: $A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+1}.$

$\begin{align}  & \Rightarrow A\in Z\Leftrightarrow \left( 1-\frac{3}{\sqrt{x}+1} \right)\in Z\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+1}\in Z. \\ & \Rightarrow \left( \sqrt{x}+1 \right)\in U\left( 3 \right). \\\end{align}$

Mà $\sqrt{x}+1>0\Rightarrow \left( \sqrt{x}+1 \right)\in \left\{ 1;\ 3 \right\}.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt x + 1 = 1\\ \sqrt x + 1 = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt x = 0\\ \sqrt x = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\;\;\;\left( {tm} \right)\\ x = 4\;\;\left( {ktm} \right) \end{array} \right..$

Vậy $x=0$ thì $A\in Z.$

 Chọn D