Cho phương trình \({{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{x...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, cô lập m đưa về khảo sát hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết:

Phương trình ${{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{x}}+2m{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{x}}={{2}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}+2m.{{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}=1$           $\left( * \right).$

Đặt $t={{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}>0$ mà $\frac{\sqrt{5}+1}{2}.\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1$$\Rightarrow$${{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}.$

Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{1}{t}+2mt=1\Leftrightarrow 2m=\frac{t-1}{{{t}^{2}}}.$

Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{t-1}{{{t}^{2}}}$ trên khoảng $\left( 0;+\,\infty  \right),$ có ${f}'\left( t \right)=\frac{2-t}{{{t}^{3}}};\,\,{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=2.$

Ta có bảng biến thiên :

Tính $f\left( 2 \right)=\frac{1}{4};\,\,\underset{t\,\to \,{{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=-\,\infty$ và $\underset{t\,\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=0$

Do đó, để phương trình $2m=f\left( t \right)$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \,\,m\le 0;\,\,m=\frac{1}{8}.$

Chọn B