Chứng minh: $AC = AK$   và $CK \bot AE$  

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu nhận biết đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất tam giác cân, tính chất tia phân giác, bất đẳng thức tam giác, tính chất ba đường cao trong tam giác.

Giải chi tiết:

Vì $AE$ là phân giác của $\angle CAK\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle CAE = \angle BAE$ (tính chất tia phân giác)

Xét ${\Delta _v}ACE$ và ${\Delta _v}AKE$ có:

$AE$ chung (gt)

$\angle CAE = \angle BAE\,\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow {\Delta _v}ACE = {\Delta _v}AKE$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow AC = AK$ (hai cạnh tương ứng)

Vì ${\Delta _v}ACE = {\Delta _v}AKE\,\left( {cmt} \right)\, \Rightarrow \,\,CE = \,EK$(hai cạnh tương ứng) (1)

Vì $AC = AK\,\,\left( {cmt} \right)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AE$ là đường trung trực của $CK$ (dấu hiệu nhận biết đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow CK \bot \,\,AE$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)