Tìm a để bất phương trình \({x^2} + 4x \l...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge f\left( x \right)\\f\left( x \right) \ge a\end{array} \right.\) có nghiệm khi và chỉ khi \(g\left( x \right) \ge a\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 4x \le a\left( {\left| {x + 2} \right| + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 \le a\left( {\left| {x + 2} \right| + 1} \right) + 4\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} - a\left| {x + 2} \right| - a - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left| {x + 2} \right|^2} - 2.\left| {x + 2} \right|.\dfrac{a}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4} - a - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\left| {x + 2} \right| - \dfrac{a}{2}} \right)^2} \le \dfrac{{{a^2}}}{4} + a + 4\end{array}\)

Do \(VT = {\left( {\left| {x + 2} \right| - \dfrac{a}{2}} \right)^2} \ge 0\,\,\forall a \Rightarrow \) Bất phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow VP \ge 0\,\,\forall a \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{4} + a + 4 \ge 0\,\,\forall a\).

Đặt \(f\left( a \right) = \dfrac{{{a^2}}}{4} + a + 4\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{4} > 0\\\Delta  = 1 - 4.\dfrac{1}{4}.4 =  - 3 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( a \right) > 0\,\,\forall a \in \mathbb{R}\).

Vậy bất phương trình luôn có nghiệm với mọi \(a\).

Chọn A.