Cho đường tròn có phương trình: \({x^2} + {y^2} -...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\) tâm I  bán kính R \( \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) = R\)

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) và có hệ số góc \(k:\;\;y - {y_0} = k\left( {x - {x_0}} \right).\)

Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow d\left( {{M_0};\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)  

Giải chi tiết:

Gọi \(m\)  là hệ số góc của tiếp tuyến d của đường tròn đi qua điểm \(B\left( {3; - 11} \right)\)

\( \Rightarrow \)Phương trình của d  là: \(y + 11 = m\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow mx - y - 3m - 11 = 0\)

d  là tiếp tuyến của đường tròn \({x^2} + {y^2} - 4x + 8y - 5 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 4} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {4^2} + 5}  = 5\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {2m + 4 - 3m - 11} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 5 \Leftrightarrow \left| { - m - 7} \right| = 5\sqrt {{m^2} + 1} \\ \Leftrightarrow {m^2} + 14m + 49 = 25{m^2} + 25 \Leftrightarrow 24{m^2} - 14m - 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{4}{3}\\m =  - \frac{3}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(m = \frac{4}{3} \Rightarrow d:\frac{4}{3}x - y - 4 - 11 = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 45 = 0\) 

+) Với \(m =  - \frac{3}{4} \Rightarrow d: - \frac{3}{4}x - y + \frac{9}{4} - 11 = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 35 = 0\) 

Chọn D.