Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0$.

b)      Sử dụng định lí Vi-et $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$

Giải chi tiết:

a)      Để phương trình có nghiệm thì:

$\Delta ' = {(m - 1)^2} - (2{m^2} - 3m + 1) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - m \le 0 \Leftrightarrow m(m - 1) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 1.$

b)      Áp dụng định lý Viet ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = 2{m^2} - 3m + 1\end{array} \right. \Rightarrow P = \left| {{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2}} \right| = \left| {2{m^2} - m - 1} \right| = 2\left| {{{\left( {m - \frac{1}{4}} \right)}^2} - \frac{9}{{16}}} \right|.$

Do :

$\begin{array}{l}0 \le m \le 1 \Rightarrow \frac{{ - 1}}{4} \le m - \frac{1}{4} \le \frac{3}{4} \Rightarrow {\left( {m - \frac{1}{4}} \right)^2} \le \frac{9}{{16}} \Rightarrow \left| {{{\left( {m - \frac{1}{4}} \right)}^2} - \frac{9}{{16}}} \right| = \frac{9}{{16}} - {\left( {m - \frac{1}{4}} \right)^2}\\ \Rightarrow P = 2\left[ {\frac{9}{{16}} - {{\left( {m - \frac{1}{4}} \right)}^2}} \right] \le \frac{9}{8}.\end{array}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $m = \frac{1}{4}.$